利用向量的模的运算性质与向量的数量积可求得x+y与θ的关系式,利用基本不等式与三角函数的升幂公式及可求得答案.
【解析】
∵圆O的半径为1,半径OA、OB的夹角为θ(0<θ<π),点C为圆O上的动点,=x+y(x,y∈R),
∴==x2+2xycosθ+y2=1,
∴(x+y)2-2xy+2xycosθ=1,
∴2xy(1-cosθ)=(x+y)2-1,
∵0<θ<π,
∴1-cosθ≠0,
∴2xy=,不妨令x>0,y>0,
则2xy=≤2×,令t=x+y(x>0,y>0),
则t2-1≤t2(1-cosθ),
整理得:t2≤==,
∴0<t≤.
即x+y≤.
故答案为:.