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已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5], (1)当a=-1时,求函...

已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5],
(1)当a=-1时,求函数的最大值和最小值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调减函数.
(1)当a=-1时f(x)=x2-2x+2,可得区间(-5,1)上函数为减函数,在区间(1,5)上函数为增函数.由此可得[f(x)]max=37,[f(x)] min=1; (2)由题意,得函数y=f(x)的单调减区间是[a,+∞),由[-5,5]⊂[a,+∞)解出a≤-5,即为实数a的取值范围. 【解析】 (1)当a=-1时,函数表达式是f(x)=x2-2x+2, ∴函数图象的对称轴为x=1, 在区间(-5,1)上函数为减函数,在区间(1,5)上函数为增函数. ∴函数的最小值为[f(x)]min=f(1)=1, 函数的最大值为f(5)和f(-5)中较大的值,比较得[f(x)]max=f(-5)=37 综上所述,得[f(x)]max=37,[f(x)] min=1(6分) (2)∵二次函数f(x)图象关于直线x=-a对称,开口向上 ∴函数y=f(x)的单调增区间是(-∞,a],单调减区间是[a,+∞), 由此可得当[-5,5]⊂[a,+∞)时, 即-a≥5时,f(x)在[-5,5]上单调减,解之得a≤-5. 即当a≤-5时y=f(x)在区间[-5,5]上是单调减函数.(6分)
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考点分析:
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对于定义在R上的函数f(x),有下述四个命题;
①若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称;
②若对x∈R,有f(x+1)=f(x-1),则y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
③若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数;
④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称.
其中正确命题为    查看答案
manfen5.com 满分网,则manfen5.com 满分网的定义域为    查看答案
设函数manfen5.com 满分网,则manfen5.com 满分网=    查看答案
manfen5.com 满分网,则a的取值范围是    查看答案
设f(x)=|2-x2|,若0<a<b且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是( )
A.(0,2)
B.(manfen5.com 满分网,2)
C.(2,4)
D.(2,2manfen5.com 满分网
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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