Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设a，b∈[-2，2]，求证：|f（a）-f（b）|＜5．

Answer

（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（2）求出函数在[-2，2]上的最值，利用|f（a）-f（b）|≤|[f（x）]max-[f（b）]min|，即可证得结论．
（1）【解析】
求导函数，可得f′（x）=x2-2．
令f′（x）＜0，可得；令f′（x）＞0，可得或，
∴f（x）单调递减区间为；f（x）单调递增为（-∞，-），（，+∞）．
∴f（x）单调的单调递减区间为；单调的单调递增区间为．
（2）证明：由（1）知函数f（x）在[-2，2]上的极大值为，极小值为；
又，，
∴f（x）在[-2，2]上的最大值，最小值为．
∴|f（a）-f（b）|≤|[f（x）]max-[f（b）]min|=．