Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一个零点，求f（2）的取值范围；
（3）若a=1，g（x）=f′（x）+3x²+lnx，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

Answer

（1）由f（x）=-x3+ax2+bx+c，知f'（x）=-3x2+2ax+b，由f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，能求出b的值．
（2）由f（x）=-x3+ax2+c，知f（1）=0，c=1-a，由f′（x）=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0，，能求出f（2）的取值范围．
（3）g（x）=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g （x）的切线的切点坐标为（x，y），推导出，构造函数h（x）=lnx+-2，能推导出过点（2，5）可作2条切线．
【解析】
（1）∵f（x）=-x3+ax2+bx+c，
∴f'（x）=-3x2+2ax+b，
∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f（0）=0．
∴b=0．
（2）由（1）知f（x）=-x3+ax2+c，
∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，
∴c=1-a，
∵f′（x）=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0，，
f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
∴，解得a＞，
∴f（2）=-8+4a+（1-a）=3a-7＞-，
∴f（2）的取值范围是（-，+∞）．
（3）g（x）=2x+lnx
设过点（2，5）与曲线g （x）的切线的切点坐标为（x，y），
∴y-5=g′（x）（x-2），
即，
∴，…（10分）
令h（x）=lnx+-2，
∴h′（x）==0
∴x=2，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
又∵h（）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e2）=＞0，
∴h（x）与x轴有两个交点
∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．…（13分）