Question

如图所示，流程图给出了无穷整数数列{a_n}满足的条件，a₁∈N₊，且当k=5时，输出的S=；当k=10时，输出的S=．
（1）试求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）是否存在最小的正数M使得T_n≤M对一切正整数n都成立，若存在，求出M的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意可得，从而可得两式相减得：a1（a11-a6）=-90，即a1d=-18又∵a1d=a6所以可求数列通项；
（2）由题意可得，进一步有当n≥5时，Tn+1-Tn＜0；当n≤4时，Tn+1-Tn＞0，从而当n=5时，Tn有最大值，进而将问题转化为利用最值解决恒成立问题．
【解析】
（1）由题设知
又∵{an}是等差数列，设公差为d，
∴即
两式相减得：a1（a11-a6）=-90，即a1d=-18
又∵a1d=a1（a1+5d）=a12-90，∴a12=81，
∴a1=9，a1=-9舍，∴d=-2，∴an=11-2n
（2）．①
①式两边同乘得．②
②-①得．
∴=
∴
又∵．
当n≥5时，∵Tn+1-Tn＜0；当n≤4时，
∵Tn+1-Tn＞0∴当n=5时，Tn有最大值．
∵Tn≤M恒成立，∴，
∴M的最小值为．