设k=,则y=kx-(k+3)表示经过点P(1,-3)的直线,k为直线的斜率,所以求的取值范围就等价于求同时经过点P(1,-3)和圆上的点的直线中斜率的最大最小值,当过P直线与圆相切时,如图所示,直线PA与直线PB与圆相切,此时直线PB斜率不存在,利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线PA的距离d,令d=r求出此时k的值,确定出t的范围,即为所求式子的范围.
【解析】
设k=,则y=kx-(k+3)表示经过点P(1,-3)的直线,k为直线的斜率,
∴求的取值范围就等价于求同时经过点P(1,-3)和圆上的点的直线中斜率的最大最小值,
从图中可知,当过P的直线与圆相切时斜率取最大最小值,此时对应的直线斜率分别为kPB和kPA,
其中kPB不存在,
由圆心C(2,0)到直线y=kx-(k+3)的距离=r=1,
解得:k=,
则的取值范围是[,+∞).
故答案为:[,+∞)