Question

如图，已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM⊥PF并交x轴于M点，延长MP到N，使|PN|=|PM|．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）直线l与动点N的轨迹C交于A、B两点，若=-4，且≤|AB|≤，求直线l的斜率的取值范围．

Answer

（1）设出动点N，则M，P的坐标可表示出，利用PM⊥PF，kPMkPF=-1，求得x和y的关系式，即N的轨迹方程．
（2）设出直线l的方程，A，B的坐标，根据=-4，推断出x1x2+y1y2=-4进而求得y1y2的值，把直线与抛物线方程联立消去x求得y1y2的表达式，进而气的b和k的关系式，利用弦长公式表示出|AB|2，根据|AB|的范围，求得k的范围．
【解析】
（1）设动点N（x，y），则M（-x，0），P（0，）（x＞0）
∵PM⊥PF，∴kPMkPF=-1，即，∴y2=4x（x＞0）即为所求．
（2）设直线l方程为y=kx+b，l与抛物线交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），
则由=-4，得x1x2+y1y2=-4，即+y1y2=-4，∴y1y2=-8，
由ky2-4y+4b=0（其中k≠0），∴y1y2==-8，b=-2k，
当△=16-16kb=16（1+2k2）＞0时，
|AB|2=（1+）（y2-y1）2=[（y1+y2）2-4（y1y2）]=（+32）
由题意，得16×6（+32）≤16×30
解得，≤k2≤1，≤k≤1或-1≤k≤-，
即所求k的取值范围是[-1，-]∪[，1]．