Question

已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=2，且对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，则f（3）=    ；f（2009）=    ．

Answer

根据条件求出f（3）的值，然后得到f（x+6）=f（x），即函数f（x）是周期为6的函数，从而得到所求值．
【解析】
∵对任意的x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（x）为奇函数，
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3）=0，即f（3）=0，
∴f（x+6）=f（x），即函数f（x）是周期为6的函数，
∴f（2009）=f（335×6-1）=f（-1）=-f（1）=-2．
故答案为：0，-2．