Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，
且M是BD的中点．
（1）求证：EM∥平面ADF；
（2）求直线DF和平面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角D-AF-B的大小．

Answer

（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；
（2）取AB中点G，连接FG，DG，可得∠FDG为直线DF和平面ABCD所成角，从而可求直线DF和平面ABCD所成角的正切值；
（3）求出平面ADF、平面EBAF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D-AF-B的大小．
【解析】
（1）取AD的中点N，连接MN，NF．
在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，
∴MN∥AB，MN=AB．
又∵EF∥AB，EF=AB，∴MN∥EF且MN=EF，
∴四边形MNFE为平行四边形，可得EM∥FN．
又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，
∴EM∥平面ADF；
（2）取AB中点G，连接FG，DG，则FG∥EB，FG=
∵EB⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∴∠FDG为直线DF和平面ABCD所成角
∵BC=，AB=2，∠ABD=90°，∴BD=3
∵BG=1，∴DG=
∴tan∠FDG===；
（3）因为EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立空间直角坐标系B-xyz．
由已知可得B（0，0，0），A（0，2，0），D（3，0，0），F（0，1，）
∴=（3，-2，0），=（0，-1，）．
设平面ADF的一个法向量是=（x，y，z）．
由，得，令y=3，则=（2，3，）
因为EB⊥平面ABD，所以EB⊥BD．
又因为AB⊥BD，所以BD⊥平面EBAF．
∴=（3，0，0）是平面EBAF的一个法向量．
∴cos＜＞==
∵二面角D-AF-B为锐角，
∴二面角D-AF-B的大小为60°