Question

设数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+1（n≥2），且a₁=1，b_n=log₂（a_n+1）．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（3）求数列的前n项和S_n．

Answer

（1）由已知可得an+1=2（an-1+1），数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由（1）可求数列{an}的通项公式，根据bn=log2（an+1），可得{bn}的通项公式；
（3）利用裂项求和方法即可得到结论．
（1）证明：因为an=2an-1+1（n≥2），所以an+1=2（an-1+1）（n≥2），
所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）【解析】
由（1）知，an+1=2•2n-1=2n，∴an=2n-1
∴bn=log2（an+1）=n；
（3）【解析】
=（-）
∴Sn=[（1-）+（-）+…+（-）]=（1+--）=--．