Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列．
（ⅰ）求证：
（ⅱ）在数列{d_n}中是否存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．

Answer

（1）由an+1=2Sn+2，得an=2Sn-1+2，n≥2，由此能求出．
（2）由（1）知，，由an+1=an+（n+1）dn，得．
（i）令，则，利用错位相减法能够证明Tn=．
（ii）假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则，由此能推导出在数列{dn}中不存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．
【解析】
（1）由an+1=2Sn+2，得an=2Sn-1+2，n≥2，
两式相减得an+1=3an，n≥2，
又a2=2a1+2，又∵{an}为等比数列，公比q=3，
所以a2=2a1+2=3a1，则a1=2，所以．
（2）由（1）知，，
由an+1=an+（n+1）dn，得，
（i）令，则
，
∴两式相减，得Tn=．
（ii）假设在数列{dn}中存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，
则，即，
，
∵m，k，p成等差列，∴m+p=2k，
又由上式得k2=mp，解得m=k=p，矛盾，
∴在数列{dn}中不存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．