Question

不等式e^x-x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，e-1）
B．（e-1，+∞）
C．（-∞，e+1）
D．（e+1，+∞）

Answer

由不等式ex-x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P⇔，x∈[0，2]，利用导数求出即可．
【解析】
①当x=0时，不等式e-0＞0对任意实数x恒成立；
②当x＞0时，不等式ex-x＞ax可变形为，
由不等式ex-x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P⇔，x∈[0，2]．
设，x∈（0，2]．
g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x≤2时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
由此可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值，也即最小值，且f（1）=e．
∴1+a＜e，∴a＜e-1．
故选A．