Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）c_n=，求c_n的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）在题目给出的递推式中取n=1求出a1，取n=n+1得到第二个递推式，两式作差后整理即可说明给出的数列是等比数列，则通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的an代入递推式bn+1=bn+an，然后利用累加法可求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求出的bn代入cn=，整理后利用错位相减法求cn的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）由Sn=2-an①
当n=1时，S1=2-a1，∴a1=1．
取n=n+1得：Sn+1=2-an+1②
②-①得：Sn+1-Sn=an-an+1
即an+1=an-an+1，故有2an+1=an（n=1，2，3，…），
∵a1=1≠0，∴an≠0，∴（n∈N*）．
所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列．
则an=（n∈N*）．
（Ⅱ）∵bn+1=bn+an，∴，
则，
，
，
…
．
将以上n-1个等式累加得：

=
=．
∴=．
（Ⅲ）由．
Tn=c1+c2+c3+…+cn．
得：③
④
③-④得：
=
=．
∴．