Question

在△ABC中，∠A=120°
（Ⅰ）若三边长构成公差为4的等差数列，求△ABC的面积；
（Ⅱ）已知AD是△ABC的中线，若，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）设出三角形三边，利用余弦定理求出三边，即可得到△ABC的面积；
（Ⅱ）利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．
【解析】
（Ⅰ）由题意，设三边为a，a-4，a-8（a＞8），--------------（1分）
∵∠A=120°，
∴由余弦定理：a2=（a-4）2+（a-8）2-2（a-4）（a-8）cos120°---------------（2分）
即a2-18a+56=0------------------------（3分）
∴a=14或a=4（舍去）--------------------------------（4分）
∴三边为14，10，6
∴△ABC的面积为AB×AC×sinA==15-----------------（6分）
（Ⅱ）∵，∠A=120°，----------------------（7分）
∴----------------------------------（8分）
∵，
∴=
≥=1---------------（10分）
∴=1----------------------------------（12分）