Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记f（x）在区间[0，π]（n∈N^*）上的最小值为b_x令a_n=ln（1+n）-b_x．如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出原函数的导函数，由导函数大于0求函数的增区间，导函数小于0求函数的减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在区间[0，n]（n∈N*）上为减函数，则bn=f（n），代入an=ln（1+n）-bn后可得an，把不等式式分离出c后利用放缩法可求c的最大值．
【解析】
（I）因为f（x）=ln（1+x）-x，所以函数定义域为（-1，+∞），且f′（x）=-1=．
由f′（x）＞0，即，得：-1＜x＜0，所以f（x）的单调递增区间为（-1，0）；
由f′（x）＜0，即，得：x＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
（II）因为f（x）在[0，n]上是减函数，所以bn=f（n）=ln（1+n）-n，
则an=ln（1+n）-bn=ln（1+n）-ln（1+n）+n=n．
如果对一切n，不等式恒成立，
等价于对一切n∈N*恒成立，
由＞．
因此c≤1，即实数c的取值范围是（-∞，1]．