Question

已知函数在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（t，2t+1）上是单调函数，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=x²-2ax+a，若对于任意的x₁∈R，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求实数a的取值范围．

Answer

（I）先由已知函数求其导数，再根据函数f（x）在x=1处取得极值2，列出关于a，b的方程即可求得函数f（x）的解析式；
（II）求f′（x），令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，求出函数的单调区间，再由函数f（x）在区间（t，2t+1）上是单调函数，能够求出实数t的取值范围．
（Ⅲ）求得函数f（x）的极小值，且当x＞1时，f（x）＞0恒成立，得函数f（x）的最小值，利用二次函数的图象，对a进行分类讨论，得出g（x）在[-1，1]上的最大值，由g（x）在[-1，1]上的最大值小于等于-2得a的范围，结合分类时a的范围得a的取值范围．
【解析】
（I）f′（x）==，
由题意得，解得，
∴f（x）=．
（II）f′（x）=，令f'（x）=0，得x=-1或x=1
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - + -
f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减

∴f（x）的减区是（-∞，-1），（1，+∞）；增区间是（-1，1）．
∵函数f（x）在区间（t，2t+1）上是单调函数，
∴，或-1≤t＜2t+1≤1，或，
解得-1＜t≤0或t＞1．
故实数t的取值范围是（-1，0]∪（1，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2，
在x=1处取得极大值f（1）=2
又∵x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x）的最小值为-2，（10分）
∵对于任意的x1∈R，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≤f（x1）
∴当x∈[-1，1]时，g（x）最小值不大于-2，
又g（x）=x2-2ax+a=（x-a）2+a-a2
当a≤-1时，g（x）的最小值为g（-1）=1+3a，
由1+3a≤-2，得a≤-1，（11分）
当a≥1时，g（x）最小值为g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3
当-1＜a＜1时，g（x）的最小值为g（a）=a-a2
由a-a2≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，
所以此时a不存在．（12分）
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．（13分）．