Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为实数，且a≠0），F（x）=
（1）若f（-1）=0，曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，求f（x）的表达式；
（2）在（Ⅰ）在条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=kx-f（x）是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）为偶函数，证明F（m）+F（n）＞0．

Answer

（1）由f（x）=ax2+bx+c，知f'（x）=2ax+b．由曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，推导出b=2a，由f（-1）=0，知b=a+c．由曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），知c=2a+3，由此能求出f（x）的表达式．
（2）由f（x）=-3x2-6x-3，知g（x）=kx-f（x）=3x2+（k+6）x+3．由g（x）在[-1，1]上是单调函数，能求出k的取值范围．
（3）由f（x）是偶函数，知f（x）=ax2+c．由mn＜0，m+n＞0，知m，n异号．由此能证明F（m）+F（n）＞0．
【解析】
（1）因为f（x）=ax2+bx+c，所以f'（x）=2ax+b．
又曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．①
因为f（-1）=0，所以b=a+c．②
又因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），
所以c=2a+3．③
解由①，②，③组成的方程组，得a=-3，b=-6，c=-3．
从而f（x）=-3x2-6x-3．…（4分）
（2）由（Ⅰ）知f（x）=-3x2-6x-3，
所以g（x）=kx-f（x）=3x2+（k+6）x+3．
由g（x）在[-1，1]上是单调函数知：或，
得 k≤-12或k≥0．…（9分）
（3）因为f（x）是偶函数，可知b=0．
因此f（x）=ax2+c．…（10分）
又因为mn＜0，m+n＞0，
可知m，n异号．
若m＞0，则n＜0．
则F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am2+c-an2-c=a（m+n）（m-n）＞0．…（12分）
若m＜0，则n＞0．
同理可得F（m）+F（n）＞0．
综上可知F（m）+F（n）＞0．…（14分）