Question

已知二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）
（2）利用单调性的定义证明f（x）在x∈（1，2）为单调递增函数．
（3）求f（x）在区间x∈（t，t+1）上的最值．

Answer

（1）待定系数法：设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=0可得c值，由f（x+1）=f（x）+x+1可得关于a，b的方程组，解出即可；
（2）设1＜x1＜x2＜2，根据增函数的定义只需证明f（x1）＜f（x2），通过作差即可证明；
（3）根据对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论：①若t+1≤-，②若，③若t≥-，借助图象即可求得最值；
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c，
由f（0）=0，得c=0，f（x+1）=f（x）+x+1，即a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+bx+c+x+1，
也即ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1，
所以有，解得，
所以．
（2）设1＜x1＜x2＜2，
则f（x1）-f（x2）=，
∵1＜x1＜x2＜2，∴x1-x20，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（1，2）上为增函数；
（3）①若t+1≤-，即t≤-，fmax（x）=f（t）=取不到，fmin（x）=f（t+1）=；
②若即-＜t＜-，，
当d1≥d2即t≤-1时，fmax（x）=f（t）=取不到，fmin（x）=f（-）=-，
当d1＜d2即t＞-1时，fmax（x）=f（t+1）=取不到，；
③若t≥-，fmax（x）=f（t+1）=取不到，取不到．
综上，当t≤-或t时，f（x）没最大值也没最小值，当-＜t＜-时，最小值为-，无最大值．