Question

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益与投资成正比，其关系如图1所示；投资股票等风险型产品B的收益与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（收益与投资单位：万元）．
（1）分别将A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式；
（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

Answer

（1）设投资为x万元，A、B两产品获得的收益分别为f（x）、g（x）万元，由题意，f（x）=k1x，g（x）=，k1，k2≠0，x≥0，再由图象能求出A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式．
（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10-x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=，x≥0．利用换元法能求出怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，并能求出其最大收益为多少万元．
【解析】
（1）设投资为x万元，
A、B两产品获得的收益分别为f（x）、g（x）万元，
由题意，f（x）=k1x，g（x）=，k1，k2≠0，x≥0，
又由图知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得，k2=，
∴f（x）=，x≥0．g（x）=．（不写定义域扣1分）
（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10-x）万元，
记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，
则y=，x≥0．
设，则x=t2，0≤t≤．
∴y=-，
当t=，也即x=时，y取最大值．
答：对股票等风险型产品B投资万元，对债券等稳键型产品A投资万元时，
可获最大收益万元．（答（1分），单位（1分） ）