Question

已知二次函数f（x）满足f（0）=2和f（x+1）-f（x）=2x-1对任意实数x都成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当t∈[-1，3]时，求y=f（2^t）的值域．

Answer

（1）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=2可求得c，由f（x+1）-f（x）=2x-1，得2ax+a+b=2x-1，所以，可求a，b，从而可得f（x）；
（2）y=f（2t）=（2t）2-2•2t+2=（2t-1）2+1，由t∈[-1，3]，可得2t的范围，进而可求得y=f（2t）的值域．
【解析】
（1）由题意可设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则
由f（0）=2得c=2，
由f（x+1）-f（x）=2x-1得，a（x+1）2+b（x+1）+2-ax2-bx-2=2x-1对任意x恒成立，
即2ax+a+b=2x-1，
∴，
∴f（x）=x2-2x+2；
（2）∵y=f（2t）=（2t）2-2•2t+2=（2t-1）2+1，
又∵当t∈[-1，3]时，，
∴，（2t-1）2∈[0，49]，
∴y∈[1，50]，
即当t∈[-1，3]时，求y=f（2t）的值域为[1，50]．