Question

已知F₁、F₂分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，OF₁为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则当△PF₁F₂的面积等于a²时，双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2

Answer

先设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，进而在RT△PF1F2中结合双曲线的定义和△PF1F2的面积，进而根据双曲线的简单性质求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．
【解析】
设F1F2=2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，
∴F1P2+F2P2=F1F22，
又根据曲线的定义得：
F1P-F2P=2a，
平方得：F1P2+F2P2-2F1P×F2P=4a2
 从而得出F1F22-2F1P×F2P=4a2
∴F1P×F2P=2（c2-a2）
又当△PF1F2的面积等于a2
即F1P×F2P=a2
2（c2-a2）=a2
∴c=a，
∴双曲线的离心率e==．
故选A．