Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．
（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a=4时，若函数y=f（x）-m有三个不同的零点，求m的取值范围；
（3）设定义在D上的函数y=h（x）在点p（x，h（x））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x时，若在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，请你探究当a=4时，函数y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）f′（x）=2x-（a+2）+=，由f′（x）＞0能求出f（x）的单调递增区间；
（2）当a=4时，f（x）=x2-6x+4lnx，f′（x）=2x+-6，其中x＞0，由f′（x）=0求出极值点，把函数y=f（x）-m有三个不同的零点转化为函数y=f（x）的图象与直线y=m的交点问题解决；
（3）当a=4时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x，f（x））处的切线方程为y=m（x）=．由此能推导出y=f（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．
【解析】
（1）∵f（x）=x2-（a+2）x+alnx，
∴f′（x）=2x-（a+2）=，其中x＞0，
令f'（x）=0，得x=1或x=．
∵a＞2，∴＞1．
当0＜x＜1及x＞时，f'（x）＞0；
当1＜x＜时，f'（x）＜0；
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（，+∞）．
（2）当a=4时，f（x）=x2-6x+4lnx，f′（x）=2x+-6==，其中x＞0，
当x∈（0，1），（2，+∞）时，f′（x）＞0．
当x∈（1，2）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在x∈（0，1），（2，+∞）时为增函数，
在x∈（1，2）时为减函数．
∴f（x）的极大值为f（1）=-5，极小值为f（2）=4ln2-8．
要使函数y=f（x）-m有三个不同的零点，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有三个不同交点，
如图，则m的取值范围是（4ln2-8，-5）．
（3）由（2）知，当a=4时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x，f（x））处的切线方程为：
y=m（x）=，
设φ（x）=f（x）-m（x）=，
则φ（x）=0．
ϕ′（x）=2x+-6-（2x+-6）=2（x-x）（1-）=（x-x）（x-）
若x＜，φ（x）在（x，）上单调递减，
∴当x∈（x，）时，φ（x）＜φ（x）=0，此时＜0；
若，φ（x）在（，x）上单调递减，
∴当x∈（，x）时，φ（x）＞φ（x）=0，此时＜0．
∴y=f（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”．
若，＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x时，φ（x）＞φ（x）=0，
当x＜x时，φ（x）＜φ（x）=0，故＞0．
即此时点P是y=f（x）的“类对称点”
综上，y=f（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．