Question

已知=（x²+1，p+2），=（3，x），f（x）=，P是实数．
（1）若存在唯一实数x，使+与平行，试求P的值；
（2）若函数y=f（x）是偶函数，试求y=|f（x）-15|在区间[-1，3]上的值域．

Answer

（1）当+与平行时，根据向量平行的条件列式，可得关于x的一元二次方程，再由存在唯一实数x使两个向量平行，运用根的判别式可算出p=-；
（2）根据向量数量积的坐标运算，可得f（x）=3x2+（p+2）x+3，结合函数为偶函数算出p=-2，从而得到y=|f（x）-15|=|3x2-12|，最后根据二次函数的性质分情况讨论，即可得到y=|f（x）-15|在区间[-1，3]上的值域．
【解析】
（1）∵+=（x2+4，x+p+2）
∴当+与平行时，有
2（x2+4）=x+p+2，化简得2x2-x-p+6=0
∵存在唯一实数x，使+与平行
∴△=12-8（-p+6）=0，解之得p=-；
（2）∵f（x）==3（x2+1）+（p+2）x=3x2+（p+2）x+3
∴当y=f（x）是偶函数时，p+2=0，解得p=-2
因此，f（x）=3x2+3，可得y=|f（x）-15|=|3x2-12|
当x∈[-1，2]时，y=|f（x）-15|=12-3x2，最大值为12且最小值为0；
当x∈（2，3]时，y=|f（x）-15|=3x2-12，最大值为15，且最小值大于0
综上所述，y=|f（x）-15|在区间[-1，3]上的最大值为15，且最小值为0
∴y=|f（x）-15|在区间[-1，3]上的值域是[0，15]．