Question

某特许专营店销售上海世博会纪念章，每枚纪念章进价5元，同时，每销售1枚需交2元特许经营费．预测这种纪念章以每枚20元的价格出售，一年可销售2000枚．市场调研发现，销售价格在每枚20元的基础上，每减少1元，销售量增加400枚；每增加1元，销售量减少100枚．现设每枚纪念章销售价为x元．
（1）把该专营店一年内销售这种纪念章所获得利润y（元）表示为x的函数，并写出定义域；
（2）问x取何值时，利润y（元）最大．

Answer

（1）分析题设条件，能够求出y=，定义域为（0，40）．
（2）当0＜x≤20时，当x=16时，ymax=32400元；当20＜x＜40时，当x=时，ymax=27225元．由此能够求出当x=16时，利用y最大．
（本题满分12分）
【解析】
（1）由题设条件知：
y=
=，
定义域为（0，40）．
（2）当0＜x≤20时，
∵y=400（25-x）（x-7）=-400x2+12800x-70000
=-400（x-16）2+32400，
∴当x=16时，ymax=32400元；
当20＜x＜40时，
∵y=100（40-x）（x-7）=-100（x-）2+27225，
∴当x=时，ymax=27225元．
故当x=16时，利用y最大．