Question

设C₁，C₂，…，C_n，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆C_n都与圆C_n+1相互外切，以r_n表示C_n的半径，已知{r_n}为递增数列．
（Ⅰ）证明：{r_n}为等比数列；
（Ⅱ）设r₁=1，求数列的前n项和．

Answer

（1）求直线倾斜角的正弦，设Cn的圆心为（λn，0），得λn=2rn，同理得λn+1=2rn+1，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{rn}中rn+1与rn的关系，证明{rn}为等比数列；
（2）利用（1）的结论求{rn}的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和．
【解析】
（1）将直线y=x的倾斜角记为，则有tanθ=，sinθ=，
设Cn的圆心为（λn，0），则由题意得知，得λn=2rn；同理
λn+1=2rn+1，从而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1，将λn=2rn代入，
解得rn+1=3rn
故|rn|为公比q=3的等比数列．
（Ⅱ）由于r1=1，q=3，故rn=3n-1，从而，
记，
则有Sn=1+2•3-1+3•3-2+…+n•31-n

①-②，得

=，
∴