Question

已知椭圆E的方程是（a＞b＞0），其左顶点为（-2，0），离心率e=．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l交椭圆E于A、B两点，若椭圆上存在一点P，使=λ（+），试求λ的值．

Answer

（1）利用椭圆左顶点为（-2，0），离心率e=，结合b=，求出几何量，即可求椭圆E的方程；
（2）确定直线l的方程，代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合=λ（+），求出P的坐标，代入椭圆方程，即可求λ的值．
【解析】
（1）由已知得a=2，e==，∴c=1，b==，
∴椭圆E的方程为=1．
（2）由（1）得右焦点F（1，0），因此直线l的方程为y=x-1．
代入椭圆方程并整理得7x2-8x-8=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，
∴y1+y2=（x1-1）+（x2-1）=（x1+x2）-2=-．
∴=λ（+）=λ（x1+x2，y1+y2）=λ（，-），
∴P点坐标为（，-），
代入椭圆方程，可得=1，
∴，解得λ=．