Question

已知变量a，θ∈R，则（a-2cosθ）²+（a-5-2sinθ）²的最小值为    ．

Answer

设点A（a，a-5）、B（2cosθ，2sinθ），易知本题即求|AB|2 的最小值．点A在直线L：x-y-5=0上，点B在圆C：x2+y2=4 上，先求出圆心到直线的距离d，可得|AB|的最小值d-r，从而得到|AB|2 的最小值．
【解析】
可设点A（a，a-5）、B（2cosθ，2sinθ），易知本题即求|AB|2 的最小值．
由于点A在直线L：x-y-5=0上，点B在圆C：x2+y2=4 上．
数形结合可知，由圆心O（0，0）向直线L作垂线，|AB|的最小值就是夹在圆与直线间的部分．
由于圆心到直线的距离d==5，|AB|min=d-r=3，
∴|AB|2 的最小值为9，
故答案为 9．