Question

设数列{a_n}的前n项和记为S_n且设数列{b_n}的前n项和为
（1）求a_n；
（2）求T_n；
（3）设函数f（x）=-x²+4x，是否存在实数λ使得当x≤λ时，对任意n∈N^*恒成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由数列{an}的前n项和，利用公式，能求出an．
（2）由an=4n+2，数列{bn}的前n项和为，知bn==（），由此利用裂项求和法能求出Tn．
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，对任意n∈N*恒成立，即-x2+4x≤对任意n∈N*恒成立，由==4-是递增数列，能推导出存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N*恒成立．
【解析】
（1）∵数列{an}的前n项和，
∴a1=S1=2+4=6，
an=Sn-Sn-1=（2n2+4n）-[2（n-1）2+4（n-1）]
=4n+2．
当n=1时，4n+2=6=a1，
∴an=4n+2．
（2）∵an=4n+2，数列{bn}的前n项和为，
∴bn==（），
∴Tn=（1-++…+）
=（1-）
=．
（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，对任意n∈N*恒成立，
即-x2+4x≤对任意n∈N*恒成立，
∵an=4n+2，
∴==4-是递增数列，
所以只要-x2+4x≤c1，即x2-4x+3≥0，
解得x≤1或x≥3．
所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N*恒成立．