Question

如图，F₁，F₂是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=-将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M在直线l上，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 是否存在点M，使以PQ为直径的圆经过点F₂，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）设F2（c，0），由直线l：x=-将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3，解得c=1．再由离心率为e=，求出a=，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，不合题意．当直线AB不垂直于x轴时，设存在点M（-，m），m≠0，设直线AB的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，推导出k=，直线PQ的斜率为k1=-4m，由此能推导出存在两点M符合条件，坐标为M（-，-）和M（-，）．
【解析】
（Ⅰ）设F2（c，0），
∵直线l：x=-将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3，
∴，解得c=1．
∵离心率为e=，∴a=，
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x=-，
此时P（-，0），Q（，0），=-1，不合题意．
当直线AB不垂直于x轴时，设存在点M（-，m），m≠0，
设直线AB的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得，
则-1+4mk=0，故k=，
此时，直线PQ的斜率为k1=-4m，
PQ的直线方程为y-m=-4m（x+），即y=-4mx-m．
联立，消去y，整理，得（32m2+1）x2+16m2x+2m2-2=0．
∴，x1x2=，
由题意=0，
∴=（x1-1）（x2-1）+y1y2
=x1x2-（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）
=（1+16m2）x1x2+（4m2-1）（x1+x2）+1+m2
=++1+m2
==0，
∴m=．
∵M在椭圆内，∴，
∴m=符合条件．
综上所述，存在两点M符合条件，坐标为M（-，-）和M（-，）．