Question

函数f（x）=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）
（1）若a=2，求y=f（x）的值域
（2）若y=f（x）在区间[-1，1]上有最大值14．求a的值；
（3）在（2）的前题下，若a＞1，作出f（x）=a^|x-1|的草图，并通过图象求出函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）当a=2时，f（x）=22x+2×2x-1=（2x+1）2-2，利用二次函数的性质即可求解
（2）y=a2x+2ax-1=（ax+1）2-2对于底数a分类讨论得到函数的最值和单调性．
（3）结合指数函数的图象及函数的图象的平移即可
【解析】
（1）当a=2时，f（x）=22x+2×2x-1=（2x+1）2-2
∵2x＞0，设t=2x，则y=（t+1）2-2在（0，+∞）上单调递增
故y＞-1，∴y=f（x）的值域为（-1，+∞）…．（5分）
（2）y=a2x+2ax-1=（ax+1）2-2…．（6分）
①当a＞1时，又-1≤x≤1，可知，设ax=t，
则y=（t+1）2-2在[]上单调递增
∴，解得a=3或a=-5，故a=3…（8分）
②当0＜a＜1时，又-1≤x≤1，可知，设ax=t，
则y=（t+1）2-2在[]上单调递增
∴，解得，故…（10分）
综上可知a的值为3或…（11分）
（3）y=3|x-1|的图象，
 …..（13分）
函数的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（-∞，1）…（14分）