Question

已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（ ）

A．f（sinA）＞f（cosB）
B．f（sinA）＜f（cosB）
C．f（sinA）＞f（sinB）
D．f（cosA）＜f（cosB）

Answer

根据导数的图象，得到函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．再由正弦函数的单调性和锐角三角形的性质，得到sinA＞cosB，所以f（sinA）＞f（cosB），得到正确选项．
【解析】
根据导数的图象，可知
当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，在区间（-∞，0）上是减函数
∵△ABC为锐角三角形，
∴A、B都是锐角，且A+B＞
由此可得0＜-B＜A＜，
因为正弦函数在锐角范围是增函数，所以对上式的两边取正弦得sin（-B）＜sinA
∴sinA＞cosB，再结合f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，得f（sinA）＞f（cosB）
故选A