Question

已知函数f（x）=+ax²+bx，a，b∈R
（1）曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下试求函数g（x）=m[f（x）-x]（m∈R，m≠0）的极小值．

Answer

（1）y=f（x）经过点P（1，2），则点P的坐标适合函数解析式，再根据曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，可知f′（1）=2，联立后可求解a，b的值；
（2）把（1）中求得的a，b代入函数解析式，再把f（x）代入g（x）后求导函数，分类讨论m后，根据导函数在不同区间内的符号判断单调性，从而求出函数的极小值．
【解析】
（1）由f（x）=+ax2+bx，得：f′（x）=x2+2ax+b，
因为y=f（x）经过点P（1，2），且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，
所以，，解得：．
所以a=，b=．
（Ⅱ）由（1）知，
则g（x）=
=．
，
当m＞0时，g′（x）在（-∞，0），（，+∞）上大于0，在（0，）上小于0，
所以，g（x）在（-∞，0），（，+∞）上递增，在（0，）上递减，
所以g（x）的极小值为g（）==；
当m＜0时，g′（x）在（-∞，0），（，+∞）上小于0，在（0，）上大于0，
g（x）在（-∞，0），（，+∞）上递减，在（0，）上递增，
所以g（x）的极小值为g（0）=0．