Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n+3}是等比数列，求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）根据an+1=Sn+1-Sn，求得an+1=2an+3，整理可得an+1+3=2（an+3），即可证明数列{an+3}是等比数列，从而可求出数列{an}的通项公式；
（2）分组，再利用错位相减法，即可求数列{bn}的前n项和Tn．
（1）证明：因为Sn=2an-3n，所以Sn+1=2an+1-3（n+1），
则an+1=2an+1-2an-3，所以an+1=2an+3，
所以an+1+3=2（an+3），
因为n=1时，a1=S1=2a1-3，所以a1=3，所以a1+3=6，
所以数列{an+3}是以6为首项，2为公比的等比数列；
所以an+3=6•2n-1=3•2n，
所以an=3•2n-3；
（2）【解析】
bn==n•2n-n，则Tn=（1•21+2•22+…+n•2n）-（1+2+…+n）
令Tn′=1•21+2•22+…+n•2n，则2Tn′=1•22+2•23+…+n•2n+1，
两式相减可得-Tn′=1•21+1•22+1•23+…+1•2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1，
∴Tn′=（n-1）•2n+1+2，
∴Tn=（n-1）•2n+1+2-．