Question

已知f（x）=x³+ax²+bx在区间[-1，0]上是减函数，在区间（-∞，-1]与[0，+∞）上是增函数，则（ ）
A．a=1，b=0
B．a=-1，b=0
C．
D．

Answer

求出原函数的导函数，根据f（x）=x3+ax2+bx在区间[-1，0]上是减函数，在区间（-∞，-1]与[0，+∞）上是增函数，得到导函数在区间（-1，0）上恒小于0，在区间（-∞，-1）与（0，+∞）上恒大于0，然后结合二次函数的图象和二次方程根的关系列式求出a与b的值．
【解析】
由f（x）=x3+ax2+bx，得：f′（x）=3x2+2ax+b
因为f（x）=x3+ax2+bx在区间[-1，0]上是减函数，在区间（-∞，-1]与[0，+∞）上是增函数，
所以，f′（x）=3x2+2ax+b在区间（-1，0）上恒小于0，在区间（-∞，-1）与（0，+∞）上恒大于0，
则方程3x2+2ax+b=0的两个实数根为-1、0
由根与系数关系有，所以，a=，b=0．
故选C．