Question

已知点P（a，-1）（a∈R），过点P作抛物线C：y=x²的切线，切点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁与x₂的值（用a表示）；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值．

Answer

（1）涉及切点的问题常常利用导数与斜率的关系建立等式求解有关问题
（2）以点P为圆心的圆E与直线AB相切，一般直线与圆相切利用d=r建立关系．
【解析】
（Ⅰ）由y=x2可得，y′=2x．（1分）
∵直线PA与曲线C相切，且过点P（a，-1），
∴，即x12-2ax1-1=0，（3分）
∴，或，（4分）
同理可得：，或（5分）
∵x1＜x2，∴，．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x1+x2=2a，x1•x2=-1，（7分）
则直线AB的斜率，（8分）
∴直线AB的方程为：y-y1=（x1+x2）（x-x1），又y1=x12，
∴y-x12=（x1+x2）x-x12-x1x2，即2ax-y+1=0．
∵点P到直线AB的距离即为圆E的半径，即，（10分）
∴
=，
当且仅当，
即，时取等号．
故圆E面积的最小值S=πr2=3π．（14分）