Question

设函数y=f（x）在（0，+∞）上有定义，对于给定的正数K，定义函数，取函数，若对任意的x∈（0，+∞），恒有f_k（x）=f（x），则K的最小值为    ．

Answer

根据新定义的函数建立fk（x）与f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数k满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．
【解析】
∵函数，
对任意的x∈（0，+∞），恒有fk（x）=f（x），
∴k≥f（x）最大值，
由于f′（x）=5x-3x-6xlnx=2x-6xlnx，
令f′（x）=0，解得x=0（舍），或x=，
当0＜x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=时，f（x）取到最大值f（）=．
故当k≥时，恒有fk（x）=f（x）．
因此K的最小值是．
故答案为：．