Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出a_n关于n的表达式；
（2）若数列前n项和为T_n，问满足的最小正整数n是多少？．

Answer

（1）根据an=Sn-Sn-1求得an-an-1=2，进而可推断数列{an}是等差数列，公差为2．a1=S1为求得a1，最后根据等差数列的通项公式求得an．
（2）把（1）中求得an代入Tn中，利用裂项法进行求和，最后根据确定n的范围．
【解析】
（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-2（n-1），得an-an-1=2（n=2，3，4，）．
所以数列{an}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列．
所以an=2n-1．
（Ⅱ）====
由，得，满足的最小正整数为12．