Question

设函数f（x）=2x³+ax²+bx+m的导函数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线对称，且f′（1）=0．
（1）求实数a、b的值；
（2）若函数f（x）恰有三个零点，求实数m的取值范围．

Answer

（1）求出原函数的导函数，导函数为二次函数，根据其对称轴为直线得到a的值，再由f′（1）=0求出b的值；
（2）在（1）求出a和b的前提下，函数解析式中仅含有变量m，求出函数f（x）的极大值和极小值，由函数f（x）恰有三个零点，则函数的极大值大于0，且同时满足极小值小于0，联立可求m的取值范围．
【解析】
（1）由f（x）=2x3+ax2+bx+m，
得：f'（x）=6x2+2ax+b
则其对称轴为，
因为函数y=f′（x）的图象关于直线对称，
所以，，所以a=3
则f′（x）=6x2+6x+b，
又由f'（1）=0可得，b=-12．
（2）由（1）得：f（x）=2x3+3x2-12x+m
所以，f′（x）=6x2+6x-12=6（x-1）（x+2）
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，x∈（-2，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∝）时，f′（x）＞0．
故函数f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上是增函数，在（-2，1）上是减函数，
所以，函数f（x）的极大值为f（-2）=20+m，极小值为f（1）=m-7．
而函数f（x）恰有三个零点，故必有，解得：-20＜m＜7．
所以，使函数f（x）恰有三个零点的实数m的取值范围是（-20，7）．