Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2AA₁=2，sin，D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求证：平面AC₁D⊥平面B₁BCC₁；
（3）求三棱锥B-AC₁D的体积．

Answer

（1）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用直三棱柱的性质、等腰三角形底边的“三线合一”的性质、面面垂直的判定定理即可证明；
（3）利用等积变形和三棱锥的体积计算公式即可得出．
【解析】
（1）证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1是矩形，∴A1O=OC．
又∵D是BC的中点，∴A1B∥OD．
∵A1B⊄平面AC1D，OD⊂平面AC1D．
∴A1B∥平面AC1D．
（2）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点．
∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B⊥底面ABC，∴B1B⊥AD．
又B1B∩BC=B，∴AD⊥侧面BCC1B1．
∵AD⊂平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1．
（3）在Rt△ABD中，∵，∴∠ABD=60°．
∵AB=2，∴，BD=1．
∴====．