Question

已知函数f（x）=（a∈R），若对于任意的X∈N^*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是    ．

Answer

由于x∈N*，可将f（x）=≥3转化为a≥--x+3，再令g（x）=--x+3（x∈N*），利用其单调性可求得g（x）max，从而可得答案．
【解析】
∵x∈N*，
∴f（x）=≥3恒成立⇔x2+ax+11≥3x+3恒成立，
∴ax≥-x2-8+3x，又x∈N*，
∴a≥--x+3恒成立，
∴a≥g（x）max，
令g（x）=--x+3（x∈N*），再令h（x）=x+（x∈N*），
∵h（x）=x+在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，而x∈N*，
∴h（x）在x取距离2较近的整数值时达到最小，而距离2较近的整数为2和3，
∵h（2）=6，h（3）=，h（2）＞h（3），
∴当x∈N*时，h（x）min=．又g（x）=--x+3=-h（x）+3，
∴g（x）max=-+3=-．
∴a≥-．