Question

已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a，b∈R．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
（3）若对于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在[，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer

（1）当a=2时，f（x）=x++b（x≠0），f′（x）=1-，由此能求出函数f（x）的单调减区间．
（2）先根据导数的几何意义可知f'（2）=3，求出a的值，然后根据切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上求出b，从而求出函数的解析式．
（3）由函数f（x）=x++b（x≠0），对于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在[，1]上恒成立，知，由a∈[，2]，x∈[，1]，知x+a＞0．当x+b＜0时，恒成立，由此能求出b的取值范围．
【解析】
（1）当a=2时，f（x）=x++b（x≠0），
∴f′（x）=1-，
由f′（x）=1-≤0，x≠0，得-，或0＜x．
解得函数f（x）的单调减区间为{x|-，或0＜x}．
（2）f′（x）=1-，由导数的几何意义得f'（2）=3，于是a=-8．
由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．
所以函数f（x）的解析式为f（x）=x-+9．
（3）∵函数f（x）=x++b（x≠0），对于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在[，1]上恒成立，
∴，①
因为a∈[，2]，x∈[，1]，
所以，a＞0，x＞0，从而得到x+a＞0．
当x+b＜0时，恒成立，
∴b＜-x∈[-1，-1/4]恒成立，∴b＜xmin=-1，即b＜-1．②
当x+b＞0时，由①得：x+a≤10x+10b，10b≥a-9x  
∴，此时就变成了一个线性规划问题，把a当作y，也就是a作为纵坐标，
 目标函数为：z=y-9x，
10b≥Z恒成立，也就是左边的10b比右边的最大值还要大．
可行域为矩形，最优解为A（，1），C（1，），
ZA=1-=-，
ZC=1-=-，
∴Zmax=-，
10b≥-，
b≥-，③
又因为b＞-x∈[-1，-]恒成立，∴b＞-，④
将③④取交集得：b＞-．
综上所述，b∈（-∞，-1）∪（-，+∞）．