Question

已知椭圆E：（a＞1）的离心率，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）由椭圆E的离心率，知，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）联立方程，得M，N的坐标分别为（2t，），（2t，-），再由圆C的直径为MN，且与y轴相切，能求出t的值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得△OMN的面积S=≤2×=1，由此能求出△OMN的面积的最大值为1．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆E的离心率，
∴，
解得a=2，
故椭圆E的方程为．
（Ⅱ）联立方程，得，
即M，N的坐标分别为（2t，），（2t，-），
∵圆C的直径为MN，且与y轴相切，
∴2t=，∵t＞0，∴t=．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得△OMN的面积S=≤2×=1，
当且仅当即时，等号成立，
故△OMN的面积的最大值为1．