Question

设F₁，F₂分别是椭圆：的左、右焦点，过F₁倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设点M（0，-1）满足|MP|=|MQ|，求该椭圆的方程．

Answer

（1）设直线l的方程为y=x+c，与椭圆方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，得P、Q横坐标之和与横坐标之积关于a、b、c的式子．再用弦长公式结合PQ的长度为，列出关于a、b、c的方程，化简整理可得a=b，由此不难求出该椭圆的离心率．
（2）根据|MP|=|MQ|，得M点在PQ的中垂线上，由此结合（1）中的条件，列出关于c的方程并解之得c=3，再根据离心率算出a、b之值，即可得到该椭圆的方程．
【解析】
（Ⅰ）由直线PQ斜率为1，可设直线l的方程为y=x+c，其中c=．…（2分）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则两点坐标满足方程组
消去y，整理得（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2-b2）=0，
可得：
∵，∴
由此可得
即（）2-4（）2=．…（6分）
整理，得a2=2b2，a=b
∴椭圆的离心率e===．…（8分）
（Ⅱ）设PQ 中点为N（x，y），由（1）知
x===-，y=x+c=c．
由|MP|=|MQ|，得MN与直线y=x+c垂直，所以MN的斜率k=-1．…（10分）
∴=-1，即=-1，解得c=3，从而a=3，b=3．
因此，椭圆的方程为+=1…（12分）