Question

已知函数f（x）=x³+ax²+2，若f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线x=1对称．
（Ⅰ）求导函数f′（x）及实数a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer

（Ⅰ）求出f′（x），由其图象关于x=1对称即可求出a值，从而得到f′（x）．
（Ⅱ）借助（Ⅰ）问，求出f（x）在区间[-1，2]上的极值、端点处函数值，其中最大者为最大值，最小者为最小值．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax，
因为f′（x）的图象关于直线x=1对称，所以-a=1，a=-3，从而f′（x）=3x2-6x．
故f′（x）=3x2-6x，a=-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x3-3x2+2，f′（x）=3x（x-2），
则当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（0）=2为极大值，又f（-1）=-2，f（2）=-2．
所以y=f（x）在区间[-1，2]上的最大值为2，最小值为-2．