Question

已知定义在R上的函数f（x），且函数y=f（x-3）的图象关于（3，0）对称，当x≥0时，f（x）=x²+2x，若f（2-a²）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（2，+∞）
B．（-1，2）
C．（-2，1）
D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer

由已知中函数y=f（x-3）的图象关于（3，0）对称，根据函数图象的平移变换法则及奇函数的定义，可分析出函数为奇函数，结合已知中x≥0时的解析式，有奇函数在对称区间上单调性相同，可判断出函数的单调性，将不等式f（2-a2）＞f（a）化为2-a2＞a，解不等式可得答案．
【解析】
若函数y=f（x-3）的图象关于（3，0）对称，
则函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数
又∵当x≥0时，f（x）=x2+2x，f′（x）=2x+2＞0，故f（x）为增函数
故x≤0时，f（x）也为增函数
即函数f（x）在R上为增函数
若f（2-a2）＞f（a），则2-a2＞a，即a2+a-2＜0
解得-2＜a＜1
故选C