Question

已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）若函数在区间上是单调函数，试求的取值范围；

（2）若函数在区间上恰有3个零点，且，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）求出，再求恒成立，以及恒成立时，的取值范围；

（2）由已知，在区间内恰有一个零点，转化为在区间内恰有两个零点，由（1）的结论对分类讨论，根据单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论.

（1）由题意得，则，

当函数在区间上单调递增时，

在区间上恒成立.

∴（其中），解得.

当函数在区间上单调递减时，

在区间上恒成立，

∴（其中），解得.

综上所述，实数的取值范围是.

（2）.

由，知在区间内恰有一个零点，

设该零点为，则在区间内不单调.

∴在区间内存在零点，

同理在区间内存在零点.

∴在区间内恰有两个零点.

由（1）易知，当时，在区间上单调递增，

故在区间内至多有一个零点，不合题意.

当时，在区间上单调递减，

故在区间内至多有一个零点，不合题意，

∴.令，得，

∴函数在区间上单凋递减，

在区间上单调递增.

记的两个零点为，

∴，必有.

由，得.

∴

又∵，

∴.

综上所述，实数的取值范围为.