Question

已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）当与垂直时，求的长.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）由已知可得，，又，求得，即可得所求椭圆方程.

（2）设，可得，解得，可得.

（1）因为，所以，

因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，

所以，又，所以，

所以椭圆方程为

（2）设，因为与垂直，所以点在以为直径的圆上，

又以为直径的圆的圆心为，半径为，

方程为

则，，（舍）

则

所以