Question

如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上.

（1）求证：平面平面；

（2）当时，求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）先证明. 结合，得平面，又平面，所以平面平面.

（2）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可.

（1）设点在平面上的射影为点，连接

则平面，所以.

因为四边形是矩形，所以，所以平面，

所以.

又，所以平面，而平面，

所以平面平面.

（2）方法1：在矩形中，过点作的垂线，垂足为，连结.

因为平面 ，又DM∩DE=D

所以平面 ，

所以为二面角的平面角.

设，则.

在中，易求出，.

在中，，

所以.

方法2：以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

设，则，所以，.

由（1）知，又，所以°，°，那么，，，

所以，所以，.

设平面的一个法向量为，则即

取，则，，所以.

因为平面的一个法向量为，

所以.

所以求二面角的余弦值为.