Question

已知函数.

（1）若，讨论函数的单调性；

（2）设，是否存在实数，对任意，，，有恒成立？若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析（2）存在，.

【解析】

（1）先求导，再讨论的取值范围，求出函数的单调区间即可；

（2）先假设存在实数，，所以可设，由此能得到：，根据单调性的定义，令，要使函数在上是增函数，只要函数在上的导数值大于等于即可，继而求出的范围.

（1）函数的定义域为，

，

①若，则，，且只在时取等号，∴在上单调递增；

②若，则，而，∴，当时，；当及时，，所以在上单调递减，在及上单调递增；

③若，则，同理可得:在上单调递减，在及上单调递增；

综上，当时，在上单调递减，在及上单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在及上单调递增；

（2），

假设存在，对任意，，，有恒成立，

不妨设，要使恒成立，即必有，

令，即，

，

要使在上为增函数，

只要在上恒成立，须有，，故存在时，对任意，，，有恒成立.