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如图所示多面体中,AD⊥平面PDC,ABCD为平行四边形,E,F分别为AD,BP...

如图所示多面体中,AD平面PDCABCD为平行四边形,EF分别为ADBP的中点,AD=AP=PC=.

)求证:EF平面PDC

)若CDP90°,求证BEDP;

)若CDP120°,求该多面体的体积.

 

(1)、(2)见解析;(3). 【解析】 (Ⅰ)取PC的中点为O,连FO,DO, ∵F,O分别为BP,PC的中点, ∴∥BC,且, 又ABCD为平行四边形,∥BC,且, ∴∥ED,且 ∴四边形EFOD是平行四边形 即EF∥DO又EF平面PDC ∴EF∥平面PDC. (Ⅱ)若∠CDP=90°,则PD⊥DC, 又AD⊥平面PDC∴AD⊥DP, ∴PD⊥平面ABCD, ∵BE平面ABCD, ∴BE⊥DP (Ⅲ)连结AC,由ABCD为平行四边形可知与面积相等, 所以三棱锥与三棱锥体积相等, 即五面体的体积为三棱锥体积的二倍. ∵AD⊥平面PDC,∴AD⊥DP,由AD=3,AP=5,可得DP=4 又∠CDP=120°PC=2, 由余弦定理并整理得, 解得DC=2 ∴三棱锥的体积 ∴该五面体的体积为  
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